Από την Αίγυπτο μέχρι τη Ρωσία...

της Μενελίας Τολόγλου

Πρόβλημα 14, Πάπυρος της Μόσχας

Στη σημερινή εποχή, έχουν ανακαλυφθεί συνολικά πέντε πάπυροι που αποτελούν «αποδείξεις» της μεγαλόπρεπης μαθηματικής επιστήμης των Αιγυπτίων. Ο πρώτος πάπυρος είναι o Πάπυρος του Rhind, που αποτελεί την καλύτερη, σύμφωνα με κάποιους, πηγή πληροφοριών για την Αιγυπτιακή αριθμητική. Οι υπόλοιποι τέσσερις Αιγυπτιακοί πάπυροι, κάπως μικρότερης σημασίας, είναι ο Πάπυρος της Μόσχας, ο Πάπυρος του Kahun, ο Πάπυρος του Βερολίνου και ο δερμάτινος κύλινδρος. Υπάρχουν, εν γένει, και άλλα πολλά μικρά θραύσματα και εμπορικοί πάπυροι, τα οποία είναι διάσπαρτα σε όλο τον κόσμο, αλλά παρέχουν μια σχετικά μικρή, ελάχιστη πληροφόρηση αναφορικά με τα μαθηματικά που ανέπτυξαν οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι (Bunt, Jones, Bedient, 1988).

Ο πάπυρος της Μόσχας αποτελεί χαρακτηριστικό δείγμα των μαθηματικών των Αιγυπτίων και περιλαμβάνει πρακτικά προβλήματα με τις λύσεις τους. Είναι το δεύτερο πιο σημαντικό μαθηματικό έγγραφο που βοηθάει τον αναγνώστη να κατανοήσει τον χαρακτήρα και τα επιτεύγματα των Αρχαίων Αιγυπτίων μαθηματικών (Clagett, 1999). Αντίστοιχο παράδειγμα, μεταγενέστερος χρονολογικά, αλλά μεγαλύτερος σε έκταση, αποτελεί και ο πάπυρος του Rhind – Ahmes. Τα προαναφερθέντα είναι αξιόλογα κείμενα που καθιστούν έκδηλο το γεγονός ότι οι Αιγύπτιοι κατείχαν, γενικά, πολύ καλά την αριθμητική και τη γεωμετρική γνώση (Newman,2000).

Ο πάπυρος της Μόσχας ονομάστηκε έτσι από το Μουσείο Καλών Τεχνών Πούσκιν της Μόσχας, όπου βρίσκεται σήμερα. Μολαταύτα, δεν είναι γνωστό το μέρος στο οποίο ανακαλύφθηκε ο πάπυρος (Bunt, Jones, Bedient, 1988). Ο Βλαντιμίρ Γκολενίστσεφ ήταν ο πρώτος ιδιοκτήτης του, ο οποίος ήταν αιγυπτιολόγος. Είναι αριθμημένο με τον αριθμό 4676 στη συλλογή του, αλλά και επίσης είναι σημαντικό να αναφέρουμε ότι η πρώτη πλήρη έκδοση των εικοσιπέντε (25) προβλημάτων που αναφέρονται μέσα στον πάπυρο ήταν εκείνη που προετοιμάστηκε από τον W.W. Struve το 1930 (Clagett, 1999). Όπως αναφέρει ο Clagett (1999) στο βιβλίο του, ο πάπυρος προέρχεται από έναν τάφο που δεν βρίσκεται μακριά από το μέρος στο οποίο ανακαλύφθηκε ο Πάπυρος του Rhind. Ο Γκολενίστσεφ απέκτησε, λοιπόν, τον πάπυρο γύρω στο 1893 στις Θήβες της Αιγύπτου και το μετέφερε στη Μόσχα (Anglin, 1994). Ωστόσο, ο Αιγύπτιος συγγραφέας του παπύρου είναι άγνωστος, αλλά κατά γενική ομολογία θεωρείται ότι το αρχαίο αυτό έγγραφο περιέχει υλικό το οποίο χρονολογείται γύρω στο 1850 π.Χ. (Krebs, 2003), κατά την περίοδο της 13ης Δυναστείας των Φαραώ, ενδιάμεσα στα χρονικά όρια του Μέσου Βασιλείου, και εξαρτάται ως ένα σημείο από την δουλειά που είχε προηγηθεί κατά την περίοδο της 12ης Δυναστείας των Φαραώ (Clagett, 1999). Οι διαστάσεις του αγγίζουν τα 5 μέτρα περίπου μήκος και πλάτος που φτάνει μέχρι τα 7,5 εκατοστά. 

Τα προβλήματα που καταγράφονται με ιερατική γραφή δεν σειροθετούνται με συγκεκριμένο τρόπο, αλλά και οι λύσεις αυτών είναι περιεκτικές σε λεπτομέρειες, συγκριτικά με τον Πάπυρο του Rhind. Ο πάπυρος είναι ευρέως γνωστός για μερικά από αυτά, όπως είναι τα προβλήματα 10 και 14. Σε αυτά υπολογίζεται το εμβαδόν μια επιφάνειας και ο όγκος ενός κόλουρου.

Τα υπόλοιπα προβλήματα μπορούν να κατηγοριοποιηθούν ως εξής (Clagett, 1999):

1, 19, 25: Πρόβλημα Aha. Πρόβλημα που, ενδεχομένως, καθορίζει μια άγνωστη ποσότητα.

2: Υπολογισμός του μήκους μερών ενός πλοίου (συγκεκριμένα το μήκος του πηδαλίου).

3: Υπολογισμός του μήκους μερών ενός πλοίου (συγκεκριμένα το μήκος του καταρτιού).

4: Υπολογισμός του εμβαδού ενός τριγώνου όταν το ύψος και η βάση του είναι γνωστά.

5:Πρόβλημα pesfu. Ένα πρόβλημα που αφορά την ανταλλαγή των 100 καρβελιών ψωμιού με κανάτες μπύρας. Στο πρόβλημα χρησιμοποιείται ως μέσο ανταλλαγής το pesfu. 

6: Υπολογισμός των πλευρών ενός ορθογωνίου, εάν το εμβαδόν του και η σχέση του μήκους προς το πλάτος είναι γνωστή.

7: Υπολογισμός του ύψους και της βάσης ενός τριγώνου, όταν το εμβαδόν του και η σχέση του ύψους με τη βάση του είναι δεδομένη.

8, 9, 12, 13, 15, 16, 20, 22, 24: Προβλήματα pefsu. Ένα πρόβλημα που αφορά ένα συγκεκριμένο ποσό, της Άνω Αιγύπτου, σιτηρών που πρέπει να γίνουν εν μέρει ψωμί και εν μέρει μπύρα.

10: Πρόβλημα γεωμετρίας. Υπολογισμός της επιφάνειας ενός καλαθιού.

11, 23: Πρόβλημα baku. Υπολογισμός της παραγωγής ενός εργαζόμενου.

 14: Πρόβλημα γεωμετρίας. Υπολογισμός του όγκου κόλουρου πυραμίδας.

17: Υπολογισμός του ύψους και της βάσης ενός τριγώνου, όταν το εμβαδόν του και η αναλογία της βάσης του με το ύψος του είναι γνωστή.

18: Ένα πρόβλημα εμβαδού που αφορά το εμβαδόν μιας λωρίδας υφάσματος.

21: Πρόβλημα υπολογισμού που αφορά την προσφορά του ψωμιού.

Πιο αναλυτικά, από τα προβλήματα 2 και 3 που υπολογίζουν το μήκος των μερών ενός πλοίου, το ένα εκτιμά ποιο είναι το μήκος του πηδαλίου και το άλλο ποιο είναι το μήκος του καταρτιού του πλοίου, δεδομένου ότι είναι το 1/3 + 1/5 τους μήκους μια σανίδας φτιαγμένης από κέδρο με μήκος που ανέρχεται σε 30 πήχεις (Clagett, 1999).

Στην άλλη άκρη της διελκυστίνδας, βρίσκονται τα προβλήματα Aha, τα οποία δεν αφορούν διαστάσεις κάποιων αντικειμένων, όπως στο προηγούμενο παράδειγμα, αλλά σχετίζονται με την εύρεση μιας άγνωστης ποσότητας. Αυτό, ωστόσο, προϋποθέτει το να δίνεται το σύνολο της ποσότητας και μέρους του. Αυτή η άγνωστη ποσότητα ονομάζεται Aha και θα μπορούσαμε να ισχυριστούμε ότι αντιστοιχίζεται με τον σημερινό άγνωστο χ. Το όνομα της αντικατοπτρίζει την αρχαία αιγυπτιακή γλώσσα, η οποία είναι παρακλάδι των αφροασιατικών ή χαμιτοσημιτικών γλωσσών και διακρίνεται σε έξι κλάδους. Χαρακτηριστικά προβλήματα Aha από τον Πάπυρο της Μόσχας είναι τα 1, 19, και 25. Εν παραδείγματι, το πρόβλημα 19 ζητά από τον λύτη του να βρει την ποσότητα εκείνη που αν την πάρουμε 1 ½ φορά και προσθέσουμε σε αυτήν τον αριθμό 4 θα μας κάνει 10 (Clagett, 1999).

Ένας σημαντικός αριθμός προβλημάτων (10 από τα 25) που περιλαμβάνονται στον πάπυρο είναι προβλήματα pesfu. Προκειμένου να κατανοηθεί η σημασία τους πρέπει να δούμε το πρακτικό τους υπόβαθρο. Είναι γνωστό, λοιπόν, ότι η παραγωγή του ψωμιού και της μπύρας στην Αίγυπτο μπορεί να εντοπιστεί από τα αρχαιολογικά ευρήματα, καθώς και από παραστάσεις σε τοίχους τάφων, που είναι διακοσμημένοι με σκηνές από την καθημερινή ζωή. Οι αναπαραστάσεις αυτές δείχνουν όλη την διαδικασία της παραγωγής, από το σιτάρι που μαζεύουν οι εργάτες, το ψωμί που πλάθεται και ψήνεται, την προετοιμασία της μπύρας από το ψωμί, την τοποθέτηση της σε ειδικά δοχεία και τέλος την διανομή της παραγωγής. Για να είναι σε θέση να ελέγχουν την παραγωγή, το σιτάρι που διανέμεται πρέπει να έχει ένα συγκεκριμένο ισοδύναμο στη μπύρα και το ψωμί, που είναι μια ορισμένη ποσότητα ψωμιού και μπύρας, γνωστής ποιότητας. Ως εκ τούτου, πρέπει να είναι δυνατό να υπολογιστεί πόσα καρβέλια ψωμιού μπορούν να ψηθούν με ένα δεδομένο ποσό σιτηρών (Imhausen, 2007).

Ο τεχνικός όρος pesfu, είναι μονάδα μέτρησης της έντασης που έχει η μπύρα και δηλώνει πόσα καρβέλια ψωμί ή βάζα μπύρας μπορούν να φτιαχτούν από ένα heqat σιταριού.[1] Συνεπώς, μπορεί να υπολογιστεί ως το πηλίκο του αριθμού των ψωμιών ή των βάζων μπύρας και της ποσότητας των σιτηρών που έχει χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή τους. Τα μεγέθη είναι αντιστρόφως ανάλογα, δηλαδή, όσο υψηλότερη είναι η τιμή pesfu του ψωμιού ή της μπύρας, τόσο χαμηλότερο είναι το πραγματικό περιεχόμενο του σιταριού. Η τιμή pesfu του ψωμιού είναι συνεχώς 20 (20 ψωμιά έγιναν από 1 heqat σιταριού). Η τιμή pesfu της μπύρας κυμαίνεται μεταξύ 2 και 6. (Imhausen, 2007)

Ο τύπος που χρησιμοποιούμε είναι ο εξής: 

psw_bread =(number of bread loaves (made from 1 heqat of grain))/(1 heqat of grain)=(number of bread loaves)/(amount of grain used for their production)

 psw_beer= (number of vessels of beer (made fron 1 heqat of grain))/(1 heqat of grain)   = (number of vessels of beer )/(amount of grain used for their production)

Ένα παράδειγμα προβλήματος είναι αυτό του 8. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε 100 καρβέλια ψωμί pesfu 20. Αν κάποιος σου πει «Έχεις 100 καρβέλια ψωμί που αντιστοιχούν σε pesfu 20 και θες να το ανταλλάξεις με μπίρα που ισοδυναμεί με pesfu 4, μπίρα είδους ½ ¼ . Πόση μπίρα πρέπει να πάρεις;». Η διαδικασία υπολογισμού είναι ως εξής: πρώτα υπολογίζουμε το σιτάρι που χρησιμοποιείται για να φτιαχτούν 100 καρβέλια ψωμί pesfu 20. 

20= 100/χ=>20χ=100=> χ=100/20=>χ=5 heqat. 

Μετά ψάχνουμε να βρούμε πόσο χρειαζόμαστε για ένα κανάτι μπίρας του είδους ½ ¼ . Το αποτέλεσμα είναι ½ του heqat. Επίσης, ½ των 5 heqat είναι 2 ½ . Τέλος, πολλαπλασιάζουμε το 2 ½ επί το 4 και βρίσκουμε γινόμενο 10 (Clagett, 1999).

Ένα άλλο παράδειγμα προβλήματος είναι το 15. Αν σας πουν, «10 heqat του κριθαριού που φτιάχνει μπύρα pesfu 2. Πράγματι, ενημερώστε με για την ποσότητα της μπύρας.» Θα πρέπει να υπολογίσεις το εν λόγω, 10 φορές το 2, 20 θα έχεις ως αποτέλεσμα. Κοίτα είναι 20 βάζα μπύρας.

Η επόμενη κατηγορία προβλημάτων τα οποία χρήζουν προσοχής είναι τα προβλήματα baku. To 11 και το 23 είναι χαρακτηριστικά παραδείγματα αυτής της ομοταξίας. Χρησιμοποιούνται για να υπολογίσουν την απόδοση των εργατών. Το πρόβλημα 11 ρωτάει πόσες σανίδες 4 επί 4 αναλογούν σε κάποιον που έχει 100 σανίδες 5 επί 5. Αντίθετα, το πρόβλημα 23 υπολογίζει την εργατική απόδοση ενός υποδηματοποιού. Με άλλα λόγια, αποτελεί μια μέθοδο υπολογισμού του ρυθμού εργασίας του. «Αν σου πουν το ρυθμό εργασίας ενός τσαγκάρη, αν αυτός (μόνο) κόβει (δερμάτινα σανδάλια), είναι 10 (ζεύγη σανδάλια) ανά ημέρα. Αν αυτός τελειώνει (μόνο) τα σανδάλια, φτιάχνει 5 (ζευγάρια σανδάλια) ανά ημέρα. Πόσο είναι το ποσοστό του έργου του ανά ημέρα, αν κόβει το δέρμα και τελειώνει τα σανδάλια; Πρέπει να υπολογίσεις τα μέρη αυτών των 10 και αυτών των 5. Το συνολικό αποτέλεσμα πρέπει να είναι 3. Πρέπει να διαιρέσεις, στη συνέχεια, το 10 με αυτό. 3 1/3  φορές πρέπει να έχει ως αποτέλεσμα. Κοίτα, είναι 3 1/3  ανά ημέρα. Αυτό που έχει βρεθεί από εσάς είναι σωστό»

Στην κατανόηση του προβλήματος μας βοηθούν οι πληροφορίες που έχουμε ανακτήσει από αρχαιολογικά ευρήματα, αλλά και οι περιγραφές χειροτεχνικών διαδικασιών που έχουν βρεθεί σε τάφους. Το βασικό προϊόν ενός Αιγύπτιου τσαγκάρη, όπως μπορεί να δει κανείς από πολλές παραστάσεις που βρέθηκαν σε τάφους, είναι τα σανδάλια. Η παραγωγή σανδαλιών αποτελείται από την προετοιμασία του δέρματος, την κοπή του και την τελική διαδικασία της κατασκευής του παπουτσιού, το οποίο περιλαμβάνει να συνδέσουν τα κομμάτια δέρματος και τελικά να εφαρμόσουν κάποιου είδους διακόσμηση σε αυτό.

Τέλος, 7 στα 25 είναι προβλήματα γεωμετρίας και δημιουργήθηκαν για να υπολογίσουν μεταξύ των άλλων το εμβαδόν τριγώνων, το εμβαδόν ημισφαιρίων (όπως το πρόβλημα 10) και να εκτιμηθεί ο υπολογισμός του κόλουρου ή αλλιώς της κόλουρης πυραμίδας. 

Για παράδειγμα, το πρόβλημα 10 ζητά, σύμφωνα με κάποιους, τον υπολογισμό του εμβαδού ή ενός ημισφαιρίου ή ενός ημί- κυλίνδρου. Το πιο πιθανό είναι να αναφέρεται στο εμβαδόν ενός ημισφαιρίου, όπως υποστηρίζουν άλλωστε οι Struve και Gillings. Σε αυτό χρησιμοποιείται το παράδειγμα του υπολογισμού ενός καλαθιού. Έχουμε, λοιπόν, ένα καλάθι του οποίου το στόμιο είναι 4½ . Tο ερώτημα που τίθεται είναι «ποιο είναι το εμβαδόν του;» Η λύση που θα μπορούσαμε να δώσουμε είναι η ακόλουθη: παίρνουμε το 1/9 του 9 αφού το καλάθι είναι το μισό μιας σφαίρας. Το αποτέλεσμα είναι ίσο με 1. Στη συνέχεια, υπολογίζουμε το υπόλοιπο που είναι 8, και έπειτα το 1/9 του 8, που μας δίνει το 2/3+1/6+1/18. Εν συνεχεία, πρέπει να βρούμε το υπόλοιπο της αφαίρεσης της παραπάνω πράξης από το 8, το οποίο είναι7+ 1/9 . Μετά, αυτό που βρήκαμε το πολλαπλασιάζουμε με το 4+ 1/2 , δηλαδή θα κάνουμε τον πολλαπλασιασμό 7+ 1/9  x 4+ 1/2 , του οποίου το γινόμενο είναι 32. Το αποτέλεσμα αυτό είναι και το εμβαδόν του καλαθιού που χρησιμοποιήσαμε ως δείγμα (Imhausen, 2007).

Αναφορικά με το πρόβλημα 14, υπολογίζει τον όγκο κόλουρου πυραμίδας. Ένα κόλουρο είναι μια πυραμίδα που μοιάζει με την κανονική πυραμίδα αν της κόψεις την κορυφή. Αν έχει μια τετράγωνη βάση που ονομάζεται πλευρά a, και μια τετράγωνη πάνω επιφάνεια που ονομάζεται πλευρά b, και αν το ύψος του είναι h, τότε όπως οι Αρχαίοι Αιγύπτιοι είχαν αναφέρει ο όγκος κόλουρου πυραμίδας είναι:

(h (a^2 + ab+ b^2 ))/3  

Πρέπει να σημειωθεί ότι αν το b=0 τότε παίρνουμε τον τύπο για τον υπολογισμό του όγκου μιας κανονικής πυραμίδας με τετράγωνη βάση (Anglin, 1994).

Η πάνω επιφάνεια της πυραμίδας είναι τετράγωνο με μήκος πλευράς 2, η κάτω επιφάνεια που είναι και αυτό τετράγωνο έχει μήκος πλευράς 4, και με ύψος 6. Ο όγκος αυτής της πυραμίδας ανέρχεται σε 56 κυβικούς πήχεις. Το πρόβλημα είναι το εξής, «Εάν σου πουν: μια κόλουρη πυραμίδα έχει ύψος 6, η κάτω επιφάνεια έχει μήκος 4 και η πάνω επιφάνεια έχει μήκος 2. Πάρε το τετράγωνο του 4, θα βρεις 16. Διπλασίασε το 4, θα βρεις 8. Πάρε το τετράγωνο του 2, βρες 4. Πρόσθεσε το 16, το 8 και το 4, βρες 28. Πάρε το 1/3 του 6, βρες 2. Πολλαπλασίασε το με το 28, βρες 56. Επιβεβαίωσε ότι είναι 56. Θα βρεις ότι είναι το σωστό.» (Imhausen, 2007). Ουσιαστικά ο τύπος που χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό του όγκου είναι αυτός που αναφέραμε προηγουμένως. 

[1]Το heqat είναι μονάδα όγκου που χρησιμοποιούσαν οι αρχαίοι Αιγύπτιοι και αντιστοιχίζεται σε 4,8 λίτρα. (Imhausen, 2007)

Βιβλιογραφία

Ξένη βιβλιογραφία

Anglin W.S., «Mathematics, a concise history and philosophy», εκδ. Springer, New York, 1994.

Bunt L., Jones P., Bedient J., «The historical roots of elementary mathematics», εκδ. Dover Publications INC., New York, 1988.

Clagett M., «Ancient Egyptian Science. A Source Book. Vol. 3 of Ancient Egyptian Mathematics», εκδ. American Philosophical Society, Philadelphia, 1999.

Krebs R. And C., «Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions, and Discoveries of the Ancient World (Groundbreaking Scientific Experiments, Inventions and Discoveries through the Ages)», εκδ. Greenwood Press, London, 2003.

Newman J., «The world of Mathematics. Volume 1.», εκδ. Dover Publications, New York, 2000. Η αυθεντική έκδοση έγινε από τους Simon & Schuster το 1956.

Imhausen A., «Egyptian Mathematics», στο βιβλίο του Katz V., The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India and Islam. A sourcebook., εκδ. Princeton University Press, New Jersey, 2007.


Πηγές από το Internet
http://www.math.buffalo.edu/mad/Ancient-Africa/egypt_moscow10.html#anchor2032949