Πότε ὁ συλλογισμὸς λέγεται ἀπόδειξις

ἐπιμελεία τοῦ

ΝΙΚΟΛΑΟΥ ΓΕΩΡ. ΚΑΤΣΟΥΛΗ

-πτυχιούχου κλασσικῆς φιλολογίας

πανεπιστημίου Ἀθηνῶν

-μεταπτυχιακοῦ ἐφηρμοσμένης παιδαγωγικῆς

πανεπιστημίου Ἀθηνῶν

1. Ἡ ἔννοια καὶ τὰ στοιχεῖα τῆς ἀποδείξεως. 

Διὰ τοῦ τυπικοῦ συλλογισμοῦ συνάγομεν κρίσιν τινὰ ἐξ ἄλλων κατὰ λογικὴν ἀκολουθίαν. Ἡ κρίσις αὕτη δὲν εἶναι ἀναγκαίως καὶ ἀληθής, διότι ἐνδέχεται νὰ προκύπτῃ ὀρθῶς μέν, ἀλλ’ ἐκ προκειμένων ψευδῶν.

Κρίσις τυπικῶς καὶ οὐσιαστικῶς ὀρθὴ προκύπτει, ὅταν αἱ προκείμεναι εἶναι προτάσεις ἀναμφισβητήτως ἀληθεῖς. Ὁ συλλογισμὸς τότε λέγεται ἀπόδειξις.

Ἀπόδειξις (demonstratio) εἶναι ἡ συναγωγὴ τῆς ἀληθείας κρίσεως τινος ἐκ τῆς ὁμολογουμένης ἀληθείας ἄλλων κρίσεων.

Πρόκειται π.χ. νὰ ἀποδείξωμεν τὴν πρότασιν: «πᾶσαι αἱ ὀρθαὶ γωνίαι εἶναι ἴσαι πρὸς ἀλλήλας» Αἱ ὁμολογουμένως ἀληθεῖς προκείμεναι, ἐξ ὧν αὕτη προκύπτει ὡς συμπέρασμα, εἶναι αἱ ἑξῆς:

«αἱ ἐπὶ ἴσων τόξων βαίνουσαι γωνίαι εἶναι ἴσαι»

«αἱ ὀρθαὶ γωνίαι βαίνουσιν ἐπὶ ἴσων τόξων»

Αὗται λέγονται ἀποδεικτικοὶ λόγοι. Ἡ δὲ ἀλήθεια αὐτῶν ἔχει ἀποδειχθῇ δι’ ἄλλων ἀληθῶν προτάσεων.

Ἐν γένει οἱ ἀποδεικτικοὶ λόγοι εἶναι ἢ συμπεράσματα ἄλλης ἀποδείξεως ἢ προτάσεις, τῶν ὁποίων ἡ ἀλήθεια οὔτε δύναται νὰ ἀποδειχθῇ οὔτε ἔχει ἀνάγκην ἀποδείξεως, ἀλλ’ εἶναι φανερὰ ἀφ’ ἑαυτῆς, ὁπότε καλοῦνται ἀρχαί . Τοιαῦται ἀρχαὶ εἶναι τὰ ἀξιώματα κυρίως, ἀλλὰ καὶ τὰ αἰτήματα καὶ ἄλλαι, περὶ ὧν ἐκτενέστερον θὰ εἴπωμεν εἰς τὰ περὶ τῶν μαθηματικῶν μεθόδων.

Τὸ συμπέρασμα ὡς ἀφετηρία τῆς ἀποδείξεως λέγεται ἀποδεικτέα θέσις ἢ πρότασις . Αὕτη λέγεται εἰς τὰ Μαθηματικὰ καὶ εἰς ἄλλας ἐπιστήμας καὶ θεώρημα καὶ πρόβλημα .

Πόρισμα δὲ λέγεται πρότασις ἀμέσως ἐξ ἄλλης ἀποδεδειγμένης προκύπτουσα. 

2. Τὰ εἴδη τῆς ἀποδείξεως.

Ἡ ἀπόδειξις, ἀντιστοίχως πρὸς τὰ θεμελιώδη εἴδη τοῦ συλλογισμοῦ, εἶναι παραγωγικὴ ἢ ἐπαγωγικὴ ἡ ἀναλογική.

Παραγωγικὴ ἀπόδειξις λέγεται ἡ συνάγουσα τὴν ἀλήθειαν τοῦ ἐπὶ μέρους ἐκ τῆς ἀληθείας τοῦ καθόλου.

Τοιαύτη εἶναι ἡ ἀνωτέρω ἀπόδειξις.

Ἐπαγωγικὴ λέγεται ἡ ἀπόδειξις ἡ συνάγουσα τὴν ἀλήθειαν περὶ ὅλου τινὸς ἐκ τῆς ἀληθείας τῶν ἐπὶ μέρους.

Ἐν αὐτῇ δηλαδὴ χρησιμεύουν ὡς ἀποδεικτικοὶ λόγοι τὰ ἐπὶ μέρους, καὶ οὕτως ἀποδεικνύεται ἡ περὶ τοῦ ὅλου ἀλήθεια:

Ἡ Φυσικὴ στηρίζεται ἐπὶ τῆς ἐμπειρίας

ἡ Χημεία » » » »

ἡ Βιολογία » » » »

Αὗται εἶναι Φυσικαὶ ἐπιστῆμαι

ἄρα αἱ Φυσικαὶ ἐπιστῆμαι στηρίζονται ἐπὶ τῆς ἐμπειρίας

Εἶναι δὲ αὕτη τελεία ἢ ἀτελὴς ὡς ἡ ἐπαγωγὴ ἐν γένει. Καὶ ἡ μὲν τελεία ἔχει βεβαιότητα ἀπόλυτον, ἡ δὲ ἀτελὴς πιθανότητα μόνον, ἥτις αὐξάνει, ὅσῳ τὰ ἐπὶ μέρους εἶναι πολυπληθέστερα.

Ἀναλόγικὴ δὲ λέγεται ἐκείνη, καθ’ ἣν ἐκ τῆς ἀληθείας μερικοῦ τινος συνάγομεν ἢ τἡν ἀλήθειαν ἢ τὴν πιθανότητα ἄλλου μερικοῦ.

Τὸ πρῶτον τούτων ἰσχύει περὶ τῆς τελείας ἀναλογικῆς ἀποδείξεως (τῆς μαθηματικῆς), τὸ δὲ δεύτερον περὶ τῆς ἀτελοῦς. Αὗται οὐδόλως διαφέρουν τῶν ἀντιστοίχων ἀναλογικῶν συλλογισμῶν.

3. Οἱ κανόνες τῆς ἀποδείξεως.

Ἐκτὸς τῶν κανόνων τοῦ τυπικοῦ συλλογισμοῦ, τὴν ὀρθότητα τῆς ἀποδείξεως ὁρίζουσι καὶ ἴδιοι κανόνες, οἱ ἑξῆς:

1. Οἱ ἀποδεικτικοὶ λόγοι πρέπει νὰ εἶναι προφανῶς ἢ ὁμολογουμένως ἀληθεῖς.

2. Νὰ εἶναι ἀμέσως ἢ ἐμμέσως ἐναργεῖς.

3. Νὰ ἔχουν ὡς συμπέρασμα αὐτὴν ταύτην τὴν ἀποδεικτέαν πρότασιν.

Ἡ παράβασις αὐτῶν, ὅταν μὲν εἶναι ἀκουσία (ἐξ ἀγνοίας ἢ ἀκρισίας), ἄγει εἰς λογικὰ σφάλματα, τὰ ὁποῖα λέγονται παραλογισμοί . Ὅταν δὲ εἶναι ἑκουσία (ἐσκεμμένη πρὸς ἐξαπάτησιν τῶν ἄλλων ἢ χάριν παιδιᾶς), δημιουργεῖ τὰ λεγόμενα σοφίσματα . Ἀμφότερα καλοῦνται ψευδώνυμοι συλλογισμοὶ ἢ σοφίσματα ἀδιακρίτως.